初中的代数和几何各有其优势,因此要说哪个更好学其实并不容易。代数注重逻辑推理和符号运算,需要较强的数学思维能力,而几何则注重空间想象和形象思维,需要较强的几何直觉和图像能力。所以,哪个更好学取决于个人的数学兴趣和擅长方向。
如果给学生选择的机会,可能会有很多学生选择代数。
几何和代数都是数学的重要组成部分,每个人的学习方式不同,可能有人觉得几何比代数更容易理解,也有人觉得代数比几何更容易。不同的学科有不同的难点和挑战,关键是找到适合自己的学习方法和技巧。
有数据为证:
根据给定的内容重新进行创作,表达意思不变,并将新内容返回:
最近考区举行了一次中考模拟考试,下图中的两个表格分别统计了代数题和几何题的平均分和得分率。从红色方框的内容可以看出,不论是在区级、镇级还是学校级,学生在代数题上的平均得分率都能达到70%左右,平均分数约为68%,显示出代数题的表现明显更好。而在几何题上,学生的平均得分率只有40%左右,平均分数为43%左右,说明几何题确实是许多学生的软肋。
有办法解决吗?有。
波利亚的“怎样解题表”告诉我们,解一道数学题的基本步骤,分别是审题、思考、表达和回顾。在数学问题解决过程中,这些步骤是非常重要的,它们可以帮助我们更好地理解问题,找到解决问题的方法,并且确保我们的解答是正确的。
有些学生在做几何题时,前两步没问题,但在表达过程中遇到困难,这被称为“会做不会写”。可以解决这个问题的办法,可以参考我之前写的一篇文章,题名为《初中几何解答题学生会做不会写过程,数学老师可以怎么教?》。
更多的学生可能会在这一阶段感到困难,不知道如何下笔,思路不清晰。
那怎么办?
思考的过程本质上是大脑对信息的处理过程。思考的顺利进行离不开两样东西:
一是处理信息的工具。
解几何题的工具主要是通过课本上的概念、定理等知识点来掌握。此外,还可以在网上或其他资料中找到各种几何经典模型,比如手拉手模型、对称全等模型等。它们就像是电脑的快捷键,能够提高解题效率,但学习起来也需要花费不少时间和精力。因此,对于优秀的学生,充分利用这些工具当然有益;但对于学生来说,如果连课本上的知识都没掌握透彻,还是需要慎重考虑使用这些工具。
二是处理信息的方法。
一些老师选择将遇到的几何题进行分类,并总结相应的处理方法,让学生练习巩固。这种做法让学生获得了解决不同题型的技巧,好像是把学生的大脑训练成一把“瑞士军刀”。然而,问题在于如果遇到的题目是之前未总结过的类型,学生可能需要时间来适应。例如,去年(2020年)广东中考数学省题中的第17题涉及到点和圆的位置关系,这是之前几乎没有总结过的题型,导致学生可能不太适应。不过,今年(2021年)的复习资料中出现了这种题型,甚至一些模拟考卷也有出现,学生的反应似乎是迅速的。
有没有什么方法,可以帮助学生摆脱所谓的题型,有效地处理信息,找到解题思路呢?有,我有四个思考策略,可以帮助解决大部分初中几何题。尽管可能有些题目用不上这些策略,但目前我还没有遇到。
学生要想运用好这四个策略,需要具备两个条件:首先是基础知识牢固,比如提到三角形中位线定理,应该能够理解并加以运用,而不是一头雾水。其次是良好的绘图技能,你有没有发现,学生如果不能根据题意绘图,做几何题时通常会遇到两个问题:一是试题的插图不准确,思考会受到干扰;另一个是试题的插图不够详尽,有时标注得杂乱无章,想重新思考也变得困难。
对于成绩一般的学生,这两个条件可能有点困难;而对于成绩优秀的甚至是顶尖学生,应该是比较容易实现的。
下面让我们一起来探讨一下以下四种思考策略。
寻找更多角度或者线条之间的关系是一个重要的策略。
初中阶段的大多数数学几何题,其实主要是在处理线段和角的关系。如果在解题过程中能有意识地寻找更多与角或线相关的关系,通常就能快速得出解题思路。
来看一题:
这个问题需要我们求解角BAC的度数,但是根据策略1,我们需要获得更多的角度信息。然而题目只提供了∠CAE和∠E的度数,这显然不足以满足我们的需求。
还可以推导出其他角吗?可以的。根据旋转可得出∠C=∠E=70°,以及∠BAD=∠CAE=65°。然后由AD⊥BC可知∠CAD=90°-∠C=20°,因此∠BAC=∠BAD+∠CAD=85°,所以选项为D。
有了这个策略,我们就能有针对性地利用题目中的信息。
将角或者线转化为数学概念时,可以采用以下方法:
1. 角可以被“翻译”为以角度度量的数学概念,如直角、锐角和钝角等;
2. 线可以被“翻译”为数学中的直线、射线或线段等概念。
这种转化可以帮助我们更清晰地理解和处理几何问题。
有时候头脑一片空白,可以尝试将图中的一些元素转化为数学概念,这样做往往能让人豁然开朗,有如发现了新天地一般。
来看一题:
这题要求的是BE的长度,是一个与线段有关的问题。根据策略1,我们需要找到更多的线段。已知题目给出了BC=8,以及S△AOE=20,我们应该从哪里入手来获得更多线段呢?
根据给定内容重新创作后的内容:
根据OE⊥AC,得到S△AOE=?×OA×OE=20,但貌似这些信息并没有什么太大的作用,那么我们该如何处理呢?我们仔细观察△AOE,发现它的顶点O恰好是矩形ABCD两条对角线的交点,我们能否用一个数学概念来描述这种性质呢?答案是可以,因为O恰好是AC的中点。
从线段中点能想到的知识点包括中位线、中点定理、平行线性质等。你提到的直角三角形斜边中线、垂直平分线和三角形中位线也都是与线段中点相关的知识点。接着,你可以通过作垂直平分线等方法推导出关于线段长度的结论。
通过O作OF∥BC的方法可以得到一个新的结论,这是一个与线段中点相关的几何证明过程,展示了利用线段中点和垂直平分线等知识点来解决几何问题,这对于几何学习者来说是一个很好的例子。
是否需要更多的段落来表达这些观察和推理?确保内容的连贯性和清晰度?
关键在于正确理解点O和OE的含义。
为什么选择要“翻译”这两个,而不是其他的点或线段可能是个问题。其实很简单,因为题目给出了S△AOE=20的条件,所以我们首先考虑围绕△AOE来解决问题,如果围绕△AOE解决不了,才会考虑其他可能。
策略3.提取基本图形
图形中的角或线的关系来自基本图形的四大类之一,例如两线型、三角形,四边形和圆。无论题目的图形多么复杂,只要从中找到基本图形,思考就不会天马行空。
来看一题:
根据给定的条件,我们需要求解EF的长度。根据策略1,我们需要寻找更多的线段。观察图形,首先可以找到正方形ABCD,从中我们可以得出AB的长度为2。又因为点E是线段AB的中点,所以BE的长度为1。接下来我们来求解EF的长度。根据EF垂直于BD和∠ABD=45°,我们可以得知三角形BEF是一个等腰三角形,因此EF等于BE除以根号2,即1除以根号2。如果我们进行有理化处理,就可以得到EF的长度。
这道题的关键是要从图中提取出正方形ABCD和等腰三角形BEF。思考这一点对于解题非常重要。
寻找知识点的有效策略之一是通过划关键词来进行搜索。
一些学生审题时的习惯不太好,他们经常只看题目的一部分,凭借自己的经验就开始着手做题,导致结果可能不太稳定。划出题目中的关键词是一个很好的习惯,它能够帮助避免理解错题意,同时某些关键词也能给出解题的启发。
来看一题:
这题目要求根据BD=2求解AB的长度。我们可以尝试连接AD,得到∠ADB=90°。接着,我们可以应用数学概念,发现∠BCD是圆周角,因此得到∠BAD=∠BCD=30°。由此得到AB=2BD=4。
解决这个问题的关键在于理解“直径”概念并将其与相关知识点联系起来。
总结这四个思考策略,可以用28个字表述:线角关系至关重要,基本图形用作模型,概念翻译换个角度,关键词中蕴藏深意。
如果你正在读初中或者是初中生,请希望今天的分享对你有所帮助。